Teoría de grupos

cubo de rubik en teoria de grupos

La teoría de grupos es un área de la algebra abstracta dedicada al estudio de una estructura algebraica llamada estructura de grupo. Estos objetos matemáticos son muy útiles en campos de la ciencia como la física o la química. Muchas simetrías de relatividad especial o mecánica cuántica pueden ser definidas a través de la estructura algebraica de grupo.

El objetivo de esta publicación es dar una introducción al lector de los grupos y que aplicaciones tienen en la ciencia.

Nacimiento de la teoría de grupos

La teoría de grupos nació para estudiar las soluciones de ecuaciones algebraicas a través de radicales. Se consiguieron expresiones para la resolución de ecuaciones polinómicas de grado 2, grado 3 y grado 4. No obstante, el problema principal era saber si para grados superiores a 4 existían soluciones por radicales de las ecuaciones polinómicas.

En el siglo XIX un famoso matemático llamado Niels Henrik Abel demostró que de existir soluciones por radicales a ecuaciones polinómicas de grado 5 o superior nunca las encontraríamos.

Más tarde, el joven Evariste Galois generalizó esta demostración utilizando el famoso teorema de Galois.

Este teorema conseguía una unión entre la teoría de grupos y la teoría de cuerpos y podía ser utilizado para la demostración de soluciones de ecuaciones polinómicas.

Por lo tanto, el primer matemático en definir el concepto de grupo fue el francés Galois.

Más tarde matemáticos como el noruego Sophus Lie extendieron la noción de grupo para el uso en problemas analíticos.

Hoy en día la teoría de grupos se encuentra implícita en muchísimas áreas de las matemáticas, de la física o de la química.

Definición matemática de grupo

Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto de elementos y una operación binaria. Esta operación tiene que cumplir 4 propiedades. Si se cumplen, entonces el conjunto de elementos forma una estructura algebraica. Un Grupo.

La operación tiene que se interna. Es decir, si operamos dos elementos del grupo el resultado tiene que ser otro elemento del conjunto.

Los elementos del conjunto tienen que cumplir la propiedad asociativa.

También tiene que existir un elemento neutro. Es decir, si operamos cualquier elemento con el neutro el resultado final es el elemento.

Finalmente necesitamos la existencia de un elemento simétrico. Es decir, si cogemos un elemento del grupo y lo operamos con su simétrico obtenemos el elemento neutro.

¿No has entendido nada? ¡Veamos un ejemplo!

Para el ejemplo usaremos uno de los grupos más comunes: el grupo aditivo de los reales. En este grupo el conjunto de elementos son los números reales y la operación la suma.

Los elementos de este grupo cumplen la propiedad asociativa ya que:

a+(b+c) = (a+b)+c donde a,b y c son números reales.

También existe un elemento neutro, el 0. a+0 = a

Cada elemento a tiene un elemento simétrico (-a) ya que si los operamos obtenemos el elemento neutro, el 0: a+(-a) = 0.

La suma en el grupo aditivo de los reales es una operación interna ya que si sumamos cualesquiera dos elementos reales obtenemos otro número real.

Efectivamente la operación suma cumple con todos los requisitos. Por lo tanto, el conjunto de los reales junto con la operación suma forma una estructura algebraica de grupo.

Si además la operación es conmutativa, es decir, a+b = b+a entonces el grupo es abeliano.

Grupos finitos

Los grupos finitos son aquellos en que el conjunto que lo forma tiene un número finito de elementos. Algunos ejemplos son los grupos simétricos o los grupos cíclicos.

Grupos infinitos y grupos de Lie

Los grupos infinitos se describen análogamente a los grupos finitos. No obstante, en este caso el conjunto tiene un número infinito de elementos. Un grupo infinito típico es el grupo línea general formado por el conjunto de matrices invertibles de grado n definidos sobre un cuerpo K. GL(n,K).

Muchos de estos grupos pueden adquirir una estructura adicional. Si las operaciones de grupo son suaves, continuas y regulares estos pueden adquirir estructuras de espacios topológicos.

Aquí nacen los famosos grupos de Lie. Esto son grupos con una estructura adicional de variedad (espacio topológico localmente plano). Las propiedades de estos tipos de objetos son muy interesantes, teniendo muchos usos en física cuántica o física relativista.

Resumiendo, los grupos de Lie son estructuras algebraicas de grupo que por sus propiedades algebraicas adquieren una estructura de espacio topológico llamado variedad

Teoría de grupos en física

Los grupos de Lie son de mucha utilidad en la física ya que describen conjuntos de simetrías de la naturaleza.

¿Y que significa esto?

Pues existe un teorema muy famoso llamado teorema de Noether formulado por la fabulosa matemática Emilie Noether.

Este dice que cualquier magnitud conservada en física tiene asociado una simetría. Por ejemplo, la energía se conserva gracias a una simetría temporal. El momento lineal se conserva debido a una simetría translacional y el momento angular se conserva ya que existe una simetría rotacional.

Seguidamente entraremos en más detalles en el uso de la teoría de grupos en la física teórica. 

Grupos en la teoría cuántica de campos

Las teorías cuánticas de campos son teorías Gauge las cuales describen las fuerzas e interacciones fundamentales a través de ciertas simetrías.

¿Ya lo has adivinado?

Efectivamente, estas simetrías se describen a través de grupos de Lie. Veamos algunos ejemplos:

La interacción nuclear fuerte es la fuerza que mantiene unidos los protones y neutrones en el núcleo atómico. 

La energía del campo asociado a la interacción fuerte está descrita a través del Lagrangiano del campo.

Resulta que existen unas simetrías del grupo SU(3) que dejan invariante al Lagrangiano de este campo. Es decir, si aplicamos elementos de SU(3) a la energía, esta queda invariante.

SU(3) es el grupo de Lie formado por las matrices unitarias de dimensión 3 con determinante 1. Por el teorema de Noether, este Lagrangiano tiene una magnitud conservada asociada. En el caso de la interacción fuerte esta magnitud recibe el nombre de carga de color y es la responsable de mantener los núcleos bien unidos.

¿Fascinante verdad?

Otro ejemplo de camp cuántico con simetrías asociadas es el campo de la electrodinámica cuántica, responsable de la interacción electromagnética.

Esta teoría de gauge tiene asociada una simetría U(1).

Grupos en la mecánica cuántica

El papel principal de los grupos de simetría en mecánica cuántica es la descripción del espín. Muchas veces hemos oído hablar de que el espín es una propiedad cuántica sin análogo clásico que puede imaginarse como una rotación sin que realmente la partícula este rotando (como entendemos clásicamente la rotación de un cuerpo).

En mecánica cuántica definimos el espín como operadores que actúan sobre las funciones de onda en un espacio de Hilbert. Estos operadores transforman como rotaciones. Por esta razón podemos relacionar la propiedad de spin como una rotación.

Estas rotaciones pertenecen al grupo de simetrías unitario especial SU(2), que no deja de ser un grupo de Lie. 

Grupos en física relativista

La relatividad especial nos dice, de manera simple, que dos observadores pueden observar distintas realidades de un mismo fenómeno. Por ejemplo, si nosotros viajamos a un tren que va a una velocidad de 150 km/h y lanzamos una pelota a 10 km/h, para nosotros la pelota tiene una velocidad de 10 km/h.

Sin embargo, para un observador que se encuentre fuera del tren la velocidad de la pelota es de 10 km/h más la velocidad del tren, en total 160 km/h.

Como vemos existen diferentes realidades dependiendo de las condiciones del observador. Por lo tanto, podemos concluir que la realidad es relativa.

En física, estas “diferentes realidades” están relacionadas matemáticamente a través de las transformaciones de Lorentz.

Por lo tanto, lo que ve un observador es igual a lo que ve el otro observador multiplicado por una transformación de Lorentz.

Resulta que todas las transformaciones de Lorentz forman un grupo bajo la operación de multiplicación de matrices.

Teoría de grupos aplicado a la química

La teoría de grupos es muy útil en el campo de la química teórica. Las moléculas tienen ciertas simetrías que permiten facilitar los cálculos de ciertas propiedades además de intuir características importantes.

Cuando hacemos un estudio a nivel cuántico de moléculas químicas, no podemos resolver exactamente la ecuación de Schrödinger ya que es un sistema poli eléctrico.

Para aproximar la solución necesitamos resolver integrales dobles complejas que tienen un gasto computacional muy alto. En muchos casos, podemos utilizar la simetría para simplificar estas integrales y saber si el resultado de estas son cero.

De esta forma, gracias a las simetrías que se explican a través de teoría de grupos podemos ahorrar mucho tiempo de cálculo.

Teoría de grupos en las matemáticas

La teoría de grupos, como no podía ser de otra forma, también tiene muchas aplicaciones en las propias matemáticas. Como ejemplo, quiero poneros el uso que tiene el algebra de grupos dentro de la topología.

La topología es una rama de las matemáticas que estudia la forma de objetos y superficies. A nivel topológico, un donut es equivalente a una taza de café, ya que podemos deformar un objeto en otro sin cortar ni pegar, solo deformando.

Esta transformación del objeto recibe el nombre matemático de homeomorfismo. Los homeomorfismos pueden ser muy complejos de estudiar. Aquí es donde entre el papel del algebra abstracta de grupos. Podemos utilizar los grupos para estudiar estos homeomorfismos de manera mucho más simple.

Esta área de las matemáticas que utiliza el algebra de grupos para estudiar topologías recibe el nombre de topología algebraica y tiene muchos usos dentro de las matemáticas y de la física.

El cubo de Rubik: un ejemplo de la teoría de grupos

Seguro que alguna vez en tu vida has intentando resolver este famoso cubo. Existen muchas versiones distintas de cubo de Rubik. La típica que todo el mundo tiene es el 3x3x3 pero también existen 4x4x4, 5x5x5 y hasta 13x13x13.

Pues resulta que este famoso juguete tiene oculto los entresijos de la teoría de grupos. Los movimientos de esto cubo son permutaciones y el conjunto de permutaciones forman un grupo. Por lo tanto, se puede hacer un estudio profundo de este juguete a través del algebra de grupos.